Question

已知中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线y²=的焦点为F₁．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．

Answer

（Ⅰ）设出椭圆E的方程，根据椭圆E经过点C（2，2），且抛物线y2=的焦点为F1，结合a2=b2+c2，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程y=-x+m代入椭圆E方程，可得3x2-4mx+2m2-12=0，利用韦达定理可得圆P的圆心与半径，利用圆P与y轴相切时，即可确定m的值，由此可求直线l的方程和圆P的方程．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆E的方程为，…（1分）
则，①…（2分）
∵抛物线的焦点为F1，∴②…（3分）
又a2=b2+c2  ③
由①、②、③得a2=12，b2=6…（5分）
所以椭圆E的方程为…（6分）
（Ⅱ）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，…（7分）
代入椭圆E方程，得3x2-4mx+2m2-12=0．…（8分）
由△=16m2-12（2m2-12）=8（18-m2），得m2＜18．…（9分）
记A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=…（10分）
圆P的圆心为，
半径…（1分）
当圆P与y轴相切时，，则2x1x2=，
即，m2=9＜18，m=±3…（12分）
当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x1+x2=4，圆心为（2，1），半径为2，圆P的方程为（x-2）2+（y-1）2=4；…（13分）
同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，圆P的方程为（x+2）2+（y+1）2=4…14 分