四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=...

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=2，PA=PD，PA⊥PD，PB=PC．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAD所成角的正切值．

（Ⅰ）取AD中点M，BC中点N，连接MN、PN、PM，先证明BC⊥平面PMN，可得BC⊥PM，同理可得PM⊥AD，利用线面垂直的判定，可得PM⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）连接BD，证明BD⊥平面PAD，则∠BPD为直线PB与平面PAD所成角，从而可求直线PB与平面PAD所成角的正切值．（Ⅰ）证明：取AD中点M，BC中点N，连接MN、PN、PM，则MN是直角梯形ABCD的中位线，∴MN∥AB∥CD， ∵BC⊥AB，∴MN⊥BC， ∵PB=PC，∴△PBC是等腰△，∴PN⊥BC， ∵PN∩NB=N，∴BC⊥平面PMN， ∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，同理PA=PD，∴PM⊥AD， ∵四边形ABCD是梯形，∴在平面ABCD上，AD和BC不平行必相交于一点F， ∴PM⊥平面ABCD， ∵PM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）连接BD，则在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=2，则BD⊥AD，BD=AD=， ∵BD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD ∴BD⊥平面PAD ∴∠BPD为直线PB与平面PAD所成角 ∵PA=PD，PA⊥PD ∴PB=1 ∴tan∠BPD==．

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考点分析：

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