Question

函数，f′（x）是它的导函数．
（Ⅰ）当b=1时，若f（x）在区间存在单调递增区间，求a的取值范围．
（Ⅱ）当1≤x≤2时，f′（x）≥0恒成立，求a²+b²+10a的最小值．

Answer

（Ⅰ）b=1时，函数的导函数为f′（x）=-x2+x+2a，若f（x）在区间存在单调递增区间，应是在给定的区间内，有子区间使得导函数值大于0，然后借助于二次函数图象开口向下，对称轴一定列不等式求a的取值范围；
（Ⅱ）导函数仍然是二次函数，开口向下，在闭区间上大于等于0恒成立，只要两端点的函数值同时大于等于0即可，得到关于a、b的二次不等式组后，分析二元一次不等式所表示的平面区域，运用几何意义知：a2+b2+10a=-25，最后求点（-5，0）到区域内最近点的距离．
【解析】
（Ⅰ）当b=1时，，f′（x）=-x2+x+2a，若f（x）在区间存在单调递增区间，则在区间内存在子区间使得f′（x）=-x2+x+2a＞0，
因导函数对应的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程为x=，那么要使在区间内存在子区间使得f′（x）=-x2+x+2a＞0成立，
只需，解得：．
所以a的范围为{a|}．
（Ⅱ）由，得f′（x）=-x2+bx+2a，导函数图象是开口向下的抛物线，要使当1≤x≤2时，f′（x）≥0恒成立，则
即
而a2+b2+10a=（a+5）2+b2-25=-25，二元一次不等式组表示的平面区域内的动点（a，b）为（-1，3）时到定点（-5，0）的距离最小，
此时有（a2+b2+10a）min=（-1+5）2+32-25=0．
所以，满足当1≤x≤2时，f′（x）≥0恒成立的a2+b2+10a的最小值为0．