Question

设{a_n}是由正数组成的等比数列，公比为q，S_n是其前n项和．
（1）若q=2，且S₁-2，S₂，S₃成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：对任意正整数n，S_n，S_n+1，S_n+2不成等比数列．

Answer

（1）由题意可得S2-S1=S3-S2-2，即a2=a3-2，将q=2代入可求得a1=1，从而可求得数列{an}的通项公式；
（2）分公比q=1与公比q≠1，分别计算-Sn•Sn+2≠0即可证明，任意正整数n，Sn，Sn+1，Sn+2不成等比数列．
【解析】
（1）由已知得2S2=S1-2+S3，
∴S2-S1=S3-S2-2，
∴a2=a3-2，代入q=2得2a1=4a1-2，
∴a1=1，an=2n-1，…7分
证明：（2）当公比q=1时，Sn=na1，Sn+1=（n+1）a1，Sn+2=（n+2）a1，
-Sn•Sn+2=（n2+2n+1）-n（n+2）=＞0，…9分
当公比q≠1时，-Sn•Sn+2=-•=q2＞0，
综上所述，-Sn•Sn+2＞0，
∴任意正整数n，Sn，Sn+1，Sn+2不成等比数列…14分．