Question

已知函数f（x）=lnx+ax+1．
（1）若f（x）在（0，2]是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在（0，2]上的最大值M（a）．

Answer

（1）由题意，f′（x）=+a≥0在（0，2]上恒成立，分离参数，确定函数的最值，即可求得a的取值范围；
（2）分类讨论：①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2]上递增；②a＜0时，令f′（x）=0，可得x=-，进一步确定函数的单调性，即可求得函数的最大值．
【解析】
（1）由题意，f′（x）=+a≥0在（0，2]上恒成立
∴a≥-在（0，2]上恒成立，∴a≥-
（2）①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2]上递增，∴M（a）=f（2）=2a+ln2+1
②a＜0时，令f′（x）=0，可得x=-
若a＜，f（x）在（0，-）上递增，在（-，2]递减，故M（a）=f（-）=-ln（-a）
若-≤a＜0，则f'（x）＜0恒成立，，f（x）在（0，2]上递增，故M（a）=f（2）=2a+ln2+1
综上可得f（x）的最大值M（a）=．