Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足．
（1）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大；
（2）在（1）的条件下，求三棱锥P-MNC的体积．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论．
（2）求出点P到平面B1BCC1的距离，S△CMN，即可求得三棱锥P-MNC的体积．
【解析】
（1）如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则P（λ，0，1），平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）
∴sinθ==
∴当λ=时，（sinθ）max=，此时角θ最大为arcsin；
（2）平面B1BCC1的法向量=（），
∴点P到平面B1BCC1的距离d==
∵S△CMN==
∴VP-CMN==．