Question

平面内一动点P（x，y）到两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之积等于1．
（1）求动点P（x，y）的轨迹C方程，用y²=f（x）形式表示；
（2）类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹C的性质，请直接写出答案；
（3）求△PF₁F₂周长的取值范围．

Answer

（1）利用动点P（x，y）到两定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之积等于1，建立方程，化简可得结论；
（2）写出对称性、顶点、x、y范围即可；
（3）表示出△PF1F2周长，确定|PF1|的范围，即可求△PF1F2周长的取值范围．
【解析】
（1）∵动点P（x，y）到两定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之积等于1
∴|PF1||PF2|=1
∴×=1
化简得y2=．    
（2）性质：
对称性：关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称                           
顶点：（0，0），（±，0）
x的范围：-≤x≤
y的范围：；                     
（3）△PF1F2周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=|PF1|++2
∵|PF1|==（-≤x≤且x≠0）
∴|PF1|∈
∴△PF1F2周长的取值范围为（4，2+2）．