Question

数列{a_n} 的各项均为正数，a₁=t，k∈N^*，k≥1，p＞0，a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6pⁿ
（1）当k=1，p=5时，若数列{a_n}是成等比数列，求t的值；
（2）当t=1，k=1时，设T_n=a₁+++…++，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列是一个常数；
（3）设数列{a_n}是一个等比数列，求t（用p，k的代数式表示）．

Answer

（1）由，，得到等比数列（an}的公比q=5，由此能求出t的值．
（2）+…++，+…+，由此能够证明=a1-6=-5．
（3），，数列{an}是一个等比数列，所以求出公比为p，由此能求出t．
【解析】
（1），
，…（2分）
设等比数列（an}的公比是q，
则•5，
∴q=5，…（4分）
n=1时，t+5t=30，∴t=5．…（5分）
（2）证明：+…++，
+…+，…（7分）
∴（1+）Tn=2a1+++…++=，…（9分）
∴=a1-6=-5．…（10分）
（3），
，…（11分）
数列{an}是一个等比数列，所以求出公比为p，…（13分）
∴t（pn-1+pn+…+pn+k-1）=6pn，…（15分）
当p=1时，t（k+1）=6，∴t=，…（16分）
当p≠1，且p＞0时，t=6pn，
∴t=．…（17分）