Question

如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，0＜φ＜的部分图象，M，N是它与轴的两个交点，D，C分别为它的最高点和最低点，点F （0，1）是线段MD的中点，S_△CDM=．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）在△CDM中，记∠DMN=α，∠CMN=β．证明：sinC=2cosαsinβ．

Answer

（I）先由条件得到A=2，再由 S△DMN=S△CDM==，求得 T==，从而求得ω=3．求出点M的坐标为（-，0），由五点法作图求得φ 值．
（II）在△CDM中，由题意可得 tanα=3tanβ，即 sinαcosβ=3cosαsinβ．而DC=2DM，故sinC=sin∠DMC=sin（α+β），化简可得sinC=2cosαsinβ成立．
【解析】
（I）由已知 点F （0，1）是线段MD的中点知A=2，∵S△DMN =S△CDM===，∴T==，ω=3．
∴函数f（x）=2sin（3x+φ），再由已知可得点M的坐标为（-，0），由五点法作图可得 3（-）+φ=0，∴φ=．
（II）在△CDM中，∠DMN=α，∠CMN=β，则有 tanα=3tanβ，即 sinαcosβ=3cosαsinβ．
而DC=2DM，故sinC=sin∠DMC=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαsinβ+cosαsinβ=2cosαsinβ，
∴sinC=2cosαsinβ成立．