Question

已知公差不为O的等差数列{a_n}，a₁=1且a₂ a₄-2，a₆成等比数列．
（1 ）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}的通项公式是b_n=2^n-1，集合A={a₁，a₂，…，a_n…}，B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}．将集合A∩B中的元索按从小到大的顺序排成一个新的数列{c_n}，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，利用等差数列的通项公式代入可求d，进而可求通项
（II）解法一：利用组合数的性质展开可得bn=2n-1=（3-1）n-1=3K+（-1）n-1（K∈Z），结合an的通项公式可知3K+（（-1）n-1=3m-2，从而n必为奇数，从而可得数列{cn}是等比数列，结合等比数列的求和公式即可求解
法二：由题意可知，数列{cn}是数列{an}和数列{bn}的公共项，可令2n-1=3m-2，可判断2n=2•2n-1=6m-4=3（2m-1）-1不是数列{cn}的项，2n+1=2•2n=12m-8=3（4m-2）-2是数列{cn}的项，从而可得数列{cn}的是等比数列，结合等比数列的求和公式即可求解
【解析】
（I）设等差数列{an}的公差为d
由题意可得
即（3d-1）2=（1+d）（1+5d）
解得，d=3或d=0（舍）
∴通项公式an=1+3（n-1）=3n-2
（II）解法一：bn=2n-1=（3-1）n-1=+…+=3K+（-1）n-1（K∈Z）
∵an=3n-2
∴3K+（（-1）n-1=3m-2，从而n必为奇数
∴数列{cn}是以a1=b1=1为首项，4为公比的等比数列
∴
=
法二：由题意可知，数列{cn}是数列{an}和数列{bn}的公共项
令2n-1=3m-2
则2n=2•2n-1=6m-4=3（2m-1）-1不是数列{cn}的项
2n+1=2•2n=12m-8=3（4m-2）-2是数列{cn}的项
∴数列{cn}的是以以a1=b1=1为首项，4为公比的等比数列
∴
=