Question

如图，在多面体ABCDE中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，四边形为等腰梯形，∠EAC=∠DCA=45°，AC=2ED=4，平面BCD丄平面ABE．
（I ）求证：AB丄平面BCD；
（II ）试求二面角C-BD-E的大小．

Answer

（I ）延长AE与CD交于F，则△ACF为等腰直角三角形，在平面BCF内过C作CG⊥BF于G，可得CG⊥平面ABF，从而可得CG⊥AB，又AB⊥BC，利用线面垂直的判定，可证AB丄平面BCD；
（II ）设H为BF的中点，过H作HP⊥BD于P，则可得∠HPE为二面角的平面角的补角，由此可求二面角C-BD-E的大小．
（I ）证明：延长AE与CD交于F，
∵四边形为等腰梯形，∠EAC=∠DCA=45°，
∴△ACF为等腰直角三角形
在平面BCF内过C作CG⊥BF于G，∵平面BCD丄平面ABE，∴CG⊥平面ABF
∵AB⊂平面ABF，∴CG⊥AB
∵AB⊥BC，BC∩CG=C
∴AB丄平面BCD；
（II ）【解析】
设H为BF的中点，则EH∥AB，∴EH⊥平面BCF
过H作HP⊥BD于P，则EP⊥BD，∴∠HPE为二面角的平面角的补角

∵EH=1，HP=
∴EP=
∴cos∠HPE=
∴∠HPE=60°
∴二面角C-BD-E的大小为120°．