Question

如图，F₁，F₂是椭圆+y²=1的左、右焦点，M，N是以F₁F₂为直径的圆上关于X轴对称的两个动点．
（I）设直线MF₁、NF₂的斜率分别为k₁，k₂，求k₁•k₂值；
（II）直线MF₁和NF₂与椭圆的交点分别为A，B和C、D．问是若存在实数λ，使得λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|恒成立．若存在，求实数λ的值．若不存在，请说明理由．

Answer

（I）根据F1，F2是椭圆+y2=1的左、右焦点，可得以F1F2为直径的圆的方程，再求出直线MF1的斜率、直线NF2的斜率，即可求得k1k2的值；
（II）设直线MF1、NF2的方程代入椭圆方程，分别求得|AB|、|CD|，利用λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|，可得，由此可求实数λ的值．
【解析】
（I）∵F1，F2是椭圆+y2=1的左、右焦点
∴|F1F2|=2，F1（-1，0），F2（1，0）
∴以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
设M（x，y），则N（x，-y），且
∴直线MF1的斜率为k1=，直线NF2的斜率为k2=，
∴k1k2===1；
（II）设直线MF1的方程为y=k1（x+1），直线NF2的方程为y=k2（x-1）
将y=k1（x+1）代入椭圆方程，消去y可得
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∴|AB|==
同理|CD|==
∵λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|
∴=+=
∴实数λ的值为．