Question

已知直线y=x+a与圆x²+y²=4交于A、B两点，且，其中O为坐标原点，则正实数a的值为    ．

Answer

由•=0，利用平面向量的数量积运算法则得到OA⊥OB，又OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB=R，求出AB的长，圆心到直线y=x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到正实数a的值．
【解析】
∵•=0，
∴OA⊥OB，又OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
又圆心坐标为（0，0），半径R=2，
∴AB=R=2，
∴圆心到直线y=x+a的距离d=AB=，
又d==，
∴|a|=2，又a＞0，
则a=2．
故答案为：2