Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，A₁C=A₁B，B₁C₁∥BC，BC．
（Ⅰ）求证：面A₁AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求证：AB₁∥面A₁C₁C．

Answer

（Ⅰ）利用线面垂直，证明面面垂直，先证明A1A⊥面ABC，再证明面A1AC⊥面ABC；
（Ⅱ）取BC的中点E，证明四边形CEB1C1为平行四边形，可得B1E∥C1C，从而可得B1E∥面A1C1C，再证明AE∥面A1C1C，利用面面平行的判定，可得面B1AE∥面A1C1C，从而可得AB1∥面A1C1C．
证明：（Ⅰ）∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1A=AB=AC=1，A1A⊥AB
∴…（2分）
∵A1C=A1B，∴，∴
∴A1A⊥AC…（4分）
∵AB∩AC=A，∴A1A⊥面ABC
又∵A1A⊂面A1AC，∴面A1AC⊥面ABC…（6分）
（Ⅱ）取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E
∵B1C1∥BC，B1C1=，∴B1C1∥EC，B1C1=EC
∴四边形CEB1C1为平行四边形，∴B1E∥C1C
∵C1C⊂面A1C1C，B1E⊄面A1C1C，∴B1E∥面A1C1C…（8分）
∵B1C1∥BC，B1C1=，∴B1C1∥BE，B1C1=BE
∴四边形BB1C1E为平行四边形，∴B1B∥C1E，且B1B=C1E
又∵ABB1A1是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A=C1E
∴AEC1A1为平行四边形，∴AE∥A1C1，
∵A1C1⊂面A1C1C，AE⊄面A1C1C，∴AE∥面A1C1C…（10分）
∵AE∩B1E=E，∴面B1AE∥面A1C1C
∵AB1⊂面B1AE，∴AB1∥面A1C1C…（12分）