Question

已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N^*}，B={x|x=-6n+3，n∈N^*}，设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若{a_n}的任一项a_n∈A∩B，且首项a₁是A∩B中的最大数，-750＜S₁₀＜-300．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，求a₁b₂-b₂a₃+a₃b₄-b₄a₅+…+a_2n-1b_2n-b_2na_2n+1的值．

Answer

（Ⅰ）由题设知：集合A中所有元素可以组成以-3为首项，-2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列，进而确定a1=-3，d=-12，从而可得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{bn}的通项，进而分组，再利用等比数列的求和公式求和即可．
【解析】
（Ⅰ）由题设知：集合A中所有元素可以组成以-3为首项，-2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列．
由此可得，对任意的n∈N*，有A∩B=B，A∩B中的最大数为-3，即a1=-3…（3分）
设等差数列{an}的公差为d，则an=-3+（n-1）d，
因为-750＜S10＜-300，∴-750＜45d-30＜-300，即-16＜d＜-6
由于B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列，
所以d=-6m（m∈Z，m≠0），由-16＜-6m＜-6，所以m=2，所以d=-12
所以数列{an}的通项公式为an=9-12n（n∈N*） …（8分）
（Ⅱ）…（9分）
于是有a1b2-b2a3+a3b4-b4a5+…+a2n-1b2n-b2na2n+1=b2（a1-a3）+b4（a3-a5）+b6（a5-a7）+…+b2n（a2n-1-a2n+1）
=…（12分）