Question

已知函数f（x）=lnx+ax²+x．
（1）若f（x）在（0，+∞）是增函数，求a的取值范围；
（2）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞x₁，直线AB的斜率为k，记N（u，0），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），若，求证：f′（u）＜k．

Answer

（1）求导函数，利用f（x）在（0，+∞）是增函数，可得，进而分离参数，即可求得a的取值范围；
（2）先求得k==，由N（u，0），，求得，进而可得f′（u）-k的表达式，要证f′（u）＜k，只要证＜0，利用换元，构造新函数，即可证得．
（1）【解析】
求导函数可得：（x＞0）
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴
∴2ax2+x+1＞0
∴
∵x＞0，∴
∴a≥0；
（2）证明：∵A1（x1，y1），B1（x2，y2），∴k==
∵N（u，0），
∴x2-x1=λ（u-x1）
∴
∴f′（u）=
∴f′（u）-k=
∵a＜0，x2＞x1，1≤λ≤2
∴≤0
∴要证f′（u）＜k，只要证＜0
即＜0
设，则=，显然t＞1
令g（t）=，则g′（t）=
记T（t）=-t2+（λ2-2λ+2）t-（λ-1）2，对称轴为t=
∵1≤λ≤2，
∴函数在（1，+∞）上单调递减，
∵T（1）=0，∴，t＞1时，T（t）＜0恒成立
即-t2+（λ2-2λ+2）t-（λ-1）2＜0恒成立
∵t（t+λ-1）2＞0
∴g′（t）＜0
∴g（t）＜g（1）=0
∴f′（u）＜k．