Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB₁=3，M、N分别是B₁C₁和AC的中点．
（1）求异面直线AB₁与C₁N所成的角；
（2）求三棱锥M-C₁CN的体积．

Answer

（1）过A作AQ∥C1N，交A1C1于Q，连接B1Q，可得∠B1AQ（或其补角）是异面直线AB1与C1N所成角．在△B1AQ中，分别求出AB1、AQ和B1Q的长，结合余弦定理算出cos∠B1AQ的值，从而得到异面直线AB1与C1N所成的角是arccos；
（2）平面A1B1C1中，过M作MH⊥A1C1于H．根据直三棱柱的性质结合面面垂直的性质定理，得到MH⊥平面AA1C1C，MH是三棱锥M-C1CN的高．算出MH的长和△C1CN的面积，结合三棱锥的体积公式，可得三棱锥M-C1CN的体积．
【解析】
（1）平面AA1C1C中，过A作AQ∥C1N，交A1C1于Q，连接B1Q
∴∠B1AQ（或其补角）就是异面直线AB1与C1N所成的角
矩形AA1C1C中，N是AC中点，可得Q是A1C1中点
Rt△AA1B1中，AB1==5，同理可得AQ=
∵等腰Rt△A1B1C1中，B1Q是斜边的中线
∴B1Q=A1B1=2，
△B1AQ中，cos∠B1AQ==＞0
∴∠B1AQ=arccos，即异面直线AB1与C1N所成的角等于arccos；
（2）平面A1B1C1中，过M作MH⊥A1C1于H
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，CC1⊆平面AA1C1C
∴平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，
∵平面AA1C1C⊥平面A1B1C1=A1C1，MH⊥A1C1，
∴MH⊥平面AA1C1C，MH是三棱锥M-C1CN的高线
∵△B1C1Q中，M是B1C1中点，MH∥B1Q
∴MH是△B1C1Q的中位线，得MH=B1Q=
∵△C1CN的面积S=CN×C1C=×2×3=3
∴三棱锥M-C1CN的体积VM-C1CN=SC1CN×MH=×3×=2