Question

数列{a_n} 的各项均为正数，a₁=p，p＞0，k∈N^*，a_n+a_n+k=f（p，k）•pⁿ．
（1）当k=1，f（p，k）=p+k，p=5时，求a₂，a₃；
（2）若数列{a_n}成等比数列，请写出f（p，k）满足的一个条件，并写出相应的通项公式（不必证明）；
（3）当k=1，f（p，k）=p+k时，设T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+2a_n+a_n+1，求T_n．

Answer

（1）由题意，an+an+1=6•5n，利用a1=p=5，代入计算，即可求得a2，a3；
（2）设出公比，利用an+an+k=f（p，k）•pn，即可得到当f（p，k）=1+pk时，an=pn．
（3）当k=1，f（p，k）=p+k时，an+an+1=（1+p）pn，再利用分组求和，即可得到结论．
【解析】
（1）由题意，an+an+1=6•5n，
∵a1=p=5，
∴a2=25，a3=125
（2）数列{an}成等比数列，设公比为q，则an=p×qn-1，
∴an+k=p×qn+k-1，
∴an+an+k=p×qn-1+p×qn+k-1=（1+qk）×p×qn-1，
∵an+an+k=f（p，k）•pn
∴q=p时，f（p，k）=1+pk时，an+an+k=（1+pk）•pn且an=pn．
（3）当k=1，f（p，k）=p+k时，an+an+1=（1+p）pn．
由（2）知，∴Tn=a1+2a2+3a3+…+2an+an+1=（a1+a2）+（a2+a3）+…+（an+an+1）=（1+p）（p+p2+…+pn）
p=1时，Tn=2n；当p≠1且p＞0时，Tn=．