Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等差数列，其前n项和为S_n，数列{b_n}是首项b₁=2的等比数列，且把S₂=16，b₁b₃=b₄．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式．
（2）令c₁=1，c_2k=a_2k-1，c_2k+1=a_2k+kb_k，其中k=1，2，3，…，求数列{c_n}的前2n+1项和T_2n+1．

Answer

（1）an=1+（n-1）d，，由b1b3=b4，得q==b1=2，由此能求出数列{an}和数列{bn}的通项公式．
（2）T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2•b2）+…+a2n-1+（a2n+nbn）=1+S2n+（b1+2b2+…+nbn），令A=b1+2b2+…+nbn，利用错位相减法能求出数列{cn}的前2n+1项和T2n+1．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
则an=1+（n-1）d，，
由b1b3=b4，得q==b1=2，
∴an=2n-1，．
（2）T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2•b2）+…+a2n-1+（a2n+nbn）
=1+S2n+（b1+2b2+…+nbn），
令A=b1+2b2+…+nbn，
则A=2+2•22+…+n•2n，
2A=22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，
∴-A=2+22+…+2n-n•2n+1，
∴，
∵=4n2，
∴
=3+4n2+（n-1）•2n+1．