Question

已知函数f（x）=e^x-a（x-1），x∈R．
（1）若实数a＞0，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）记函数g（x）=f（2x），设函数y=g（x）的图象C与y轴交于P点，曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S（a），求当a＞1时S（a）的最小值．

Answer

（1）求出函数的导数，对a进行讨论，分别判断函数的单调性，最后根据a的不同取值得出的结论综合即可；
（2）g（x）=f（2x）=e2x-a（2x-1），计算出切线斜率，写出切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），求得在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式得到面积S（a）的表达式，最后利用基本不等式求此函数的最小值即可．
【解析】
（1）由f'（x）=ex-a=0，得x=lna．
①当a∈（0，1]时，f'（x）=ex-a＞1-a≥0（x＞0）．此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．函数无极值．
②当a∈（1，+∞）时，lna＞0．
x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （0，lna） lna （lna，+∞）
f′（x） - +
f（x） 单调减 极小值 单调增

由此可得，函数有极小值且f（x）极小=f（lna）=a-a（lna-1）=2a-alna．
（2）g（x）=f（2x）=e2x-a（2x-1），g（0）=1+a
切线斜率为k=g'（0）=2-2a，切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），
由∴=
当且仅当（a-1）2=4，即a=3时取等号．∴当a=3时，S（a）最小值为2．