Question

设数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求实数a的值；
（Ⅱ）试问数列能否为等比数列．若是等比数列，请写出相应数列{a_n}的通项公式；若不能，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据a1=a，an+1+2an=2n+1，对n取值，再利用a1，a2，a3成等差数列，即可求实数a的值；
（Ⅱ）条件等价于，故若是以为首项，-1为公比的等比数列，则必须首项不为0，从而可得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=a，an+1+2an=2n+1，
∴a2+2a1=22，a3+2a2=23，
∴a2=-2a+4，a3=4a，
∵2a2=a1+a3，∴2（-2a+4）=a+4a，∴（4分）
（Ⅱ）因为，所以，（6分）
得：，故若是以为首项，-1为公比的等比数列，则必须a≠1．
故a≠1时，数列为等比数列，此时，否则当a=1时，数列的首项为0，该数列不是等比数列．