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若将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角,且EA⊥平面ABD,A...

若将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角,且EA⊥平面ABD,AE=a(如图).
(Ⅰ)若manfen5.com 满分网,求证:AB∥平面CDE;
(Ⅱ)求实数a的值,使得二面角A-EC-D的大小为60°.

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(Ⅰ)建立空间直角坐标系,确定平面CDE的一个法向量,利用数量积为0,即可证得AB∥平面CDE;   (Ⅱ)确定平面CDE的一个法向量,平面AEC的一个法向量为,利用二面角A-EC-D的大小为60°,结合向量的夹角公式,即可求求实数a的值. (Ⅰ)证明:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,), ∴(2分) 设平面CDE的一个法向量为, 则有, 取时,(4分) ∴,又AB不在平面CDE内,所以AB∥平面CDE;    (7分) (Ⅱ)【解析】 如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,a),∴, 设平面CDE的一个法向量为,则有, 取z=2时,(9分) 又平面AEC的一个法向量为,(10分) ∵二面角A-EC-D的大小为60°,∴, 即,解得(13分) 又a>0,所以.        (14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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