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已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.又设P(4,...

已知椭圆manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线manfen5.com 满分网相切.又设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆C于另一点E.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明:直线AE与x轴相交于定点Q;
(3)求manfen5.com 满分网的取值范围.
(1)利用以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,可求b的值,再利用椭圆的离心率为,即可求出椭圆C的方程; (2)设A(x,y),B(x,-y),将直线PB:y=代入椭圆,可得[3+]x2-+-12=0,从而可得E的坐标,从而可得直线AE的方程,进而可知直线AE与x轴相交于定点Q; (3)由(2)知x1+x=,x1x=,y1y==,=x1x-y1y,从而可得=,设5-2x=t,进而可确定的取值范围. (1)【解析】 ∵以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切, ∴b=, ∵椭圆的离心率为, ∴ ∴,∴, ∴椭圆C的方程为 (2)证明:设A(x,y),B(x,-y) 将直线PB:y=代入椭圆,可得[3+]x2-+-12=0 设E(x1,y1),则x1+x=== ∴,∴y1= ∴直线AE: 化简可得 ∴直线AE与x轴相交于定点Q:(1,0) (3)【解析】 由(2)知x1+x=,x1x=,y1y== ∵=x1x-y1y, ∴=-= 设5-2x=t,∵x∈(-2,2),∴t∈(1,9) ∴=-+ ∵t∈(1,9),∴ ∴(-4,]
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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