Question

已知两定点F₁（-1，0），F₂（1，0），满足||+||=4的动点P的轨迹是曲线C．
（Ⅰ） 求曲线C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=-x+b与曲线C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由题意知，曲线C是以F1，F2为焦点的椭圆．故a=2，c=1，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线l与椭圆，交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得7x2-8bx+4b2-12=0，因为△=48（7-b2）＞0，所以b2＜7，再由韦达定理和点到直线的距离公式结合题设条件能够求出△AOB面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，曲线C是以F1，F2为焦点的椭圆．
∴a=2，c=1，∴b2=3，
故曲线C的方程为：．…（3分）
（Ⅱ）设直线l与椭圆，交点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，
得7x2-8bx+4b2-12=0，…（4分）
因为△=48（7-b2）＞0，
解得b2＜7，且，，（5分）
∵点O到直线l的距离d=，…（6分）
|AB|==，…（9分）
∴=．…（10分）
当且仅当b2=7-b2，即时，取到最大值．
∴△AOB面积的最大值为．…（12分）