Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ） 求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ） 求证：C₁A⊥B₁C；
（Ⅲ） 求直线B₁C₁与平面A₁B₁C所成的角．

Answer

（I）欲证A1B∥平面ADC1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1B与平面ADC1内一直线平行，连接A1C交C1A与点O，连接DO，根据中位线定理可知BO∥A1B，而A1B⊄平面ADC1，BO⊂平面ADC1，满足定理所需条件；
（II）由（I）可知C1A⊥A1C，A1B1⊥C1A而A1B1∩A1C=A1，根据线面垂直的判定定理可知C1A⊥平面A1B1C，而B1C⊂平面A1B1C，根据线面垂直的性质可知C1A⊥B1C；
（Ⅲ）连接A1C，A1C∩AC1=O，连接OB1，证明C1B1O为直线B1C1与平面A1B1C所成的角，从而可得结论．
（I）证明：连接A1C交C1A与点O，连接DO
∵ACC1A1均为正方形∴点O为A1C的中点
而D为BC中点∴BO∥A1B
而A1B⊄平面ADC1，BO⊂平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1；
（II）证明：由（I）可知C1A⊥A1C，而AB⊥平面ACC1A1，
而C1A⊂平面ACC1A1，则AB⊥C1A，而A1B1∥AB
∴A1B1⊥C1A而A1B1∩A1C=A1，
∴C1A⊥平面A1B1C，而B1C⊂平面A1B1C
∴C1A⊥B1C．
（Ⅲ）【解析】
连接A1C，A1C∩AC1=O，连接OB1，
∵ACC1A1为正方形，∠BAC=90°
∴AC1⊥A1C，AC1⊥A1B1，
∴AC1⊥平面A1B1C
∴∠C1B1O为直线B1C1与平面A1B1C所成的角
∵C1O=C1A=C1B1
∴∠C1B1O=30°．