Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=1的等差数列，其前n项和为S_n，数列{b_n}是首项b₁=2的等比数列，且b₂S₂=16，b₁b₃=b₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足 ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由{bn}是首项b1=2的等比数列，b1b3=b4可求得其公比q=2，再结合数列{an}是首项为a1=1的等差数列，且b2S2=16，可求得等差数列的公差，继而可求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）当n=1时，可求c1=a1=1，当n≥2时，由an+1-an可求得cn，从而可求数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵{bn}是首项b1=2，公比为q的等比数列，b1b3=b4，
∴2×2q2=2q3，而q≠0，
∴q=2，
∴bn=2n，
∴b2=4，
又数列{an}是首项为a1=1的公差为d的等差数列，且b2S2=16，
∴S2=4，即1+1+d=4，d=2，
∴an=2n-1，
（2）∵c1+3c2+32c3+…+3n-1cn=an①
∴c1+3c2+32c3+…+3n-1cn+3ncn+1=an+1②
②-①得：3n•cn+1=2，
∴cn+1=2•3-n，
当n=1时，c1=a1=1
∴cn=，
∴T1=1，
当n≥2时，Tn=c1+c2+c3+…+cn
=1+2（3-1+3-2+…+31-n）
=1+2•
=1+1-
=2-，
∵n=1时，也适合
∴Tn=2-，n∈N*．