Question

抛物线y²=2px（p＞0）上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如图，A，B，C为抛物线上三点，且线段MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若△AMB的面积是△BMC面积的，求直线MB的方程．

Answer

（Ⅰ）设点M的坐标，代入抛物线方程，利用点M到焦点的距离为2，根据抛物线定义，可求p的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为y2=4x，M（1，-2）．分类讨论，确定直线MB的方程，利用x1，x2，x3依次组成公差为1的等差数列，确定y1，y2，y3组成公差为2的等差数列，根据△AMB的面积是△BMC面积的，可求直线MB的方程．
【解析】
（Ⅰ）设M（x，-p），则（-p）2=2px，∴，
由抛物线定义，得
∴p=2，x=1．              …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为y2=4x，M（1，-2）．
设，，（y1，y2，y3均大于零）  …（6分）
则MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次为x1，x2，x3．
（1）当MB⊥x轴时，直线MB的方程为x=1，则x1=0，不合题意，舍去．…（7分）
（2）MB与x轴不垂直时，，
设直线MB的方程为，即4x-（y2-2）y-2y2=0，
令y=0得2x2=y2，同理2x1=y1，2x3=y3，…（10分）
因为x1，x2，x3依次组成公差为1的等差数列，
所以y1，y2，y3组成公差为2的等差数列．     …（12分）
设点A到直线MB的距离为dA，点C到直线MB的距离为dC，
因为S△BMC=2S△AMB，所以dC=2dA，
所以…（14分）
得|y2+4|=2|y2|，即y2+4=2y2，所以y2=4，
所以直线MB的方程为：2x-y-4=0…（15分）