Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）求的取值范围．

Answer

（1）利用以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可求b的值，再利用椭圆的离心率为，即可求出椭圆C的方程；
（2）设A（x，y），B（x，-y），将直线PB：y=代入椭圆，可得[3+]x2-+-12=0，从而可得E的坐标，从而可得直线AE的方程，进而可知直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）由（2）知x1+x=，x1x=，y1y==，=x1x-y1y，从而可得=，设5-2x=t，进而可确定的取值范围．
（1）【解析】
∵以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，
∴b=，
∵椭圆的离心率为，
∴
∴，∴，
∴椭圆C的方程为
（2）证明：设A（x，y），B（x，-y）
将直线PB：y=代入椭圆，可得[3+]x2-+-12=0
设E（x1，y1），则x1+x===
∴，∴y1=
∴直线AE：
化简可得
∴直线AE与x轴相交于定点Q：（1，0）
（3）【解析】
由（2）知x1+x=，x1x=，y1y==
∵=x1x-y1y，
∴=-=
设5-2x=t，∵x∈（-2，2），∴t∈（1，9）
∴=-+
∵t∈（1，9），∴
∴（-4，]