Question

定义在R上的函数f（x），f（-1）=1，如果f'（x）＞1，则不等式f（x）＞x+2的解集为    ．

Answer

设F（x）=f（x）-x-2，则F′（x）=f′（x）-1，由f'（x）＞1，得F′（x）=f′（x）-1＞0，故F（x）=f（x）-x-2是增函数，再由f（-1）=1，能求出不等式f（x）＞x+2的解集．
【解析】
设F（x）=f（x）-x-2，
则F′（x）=f′（x）-1，
∵f'（x）＞1，
∴F′（x）=f′（x）-1＞0，
∴F（x）=f（x）-x-2是增函数，
∵f（-1）=1，
∴F（-1）=f（-1）+1-2=0，
∴F（x）=f（x）-x-2＞0的解集为{x|x＞-1}，
∴不等式f（x）＞x+2的解集为{x|x＞-1}．