Question

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}中，a₁=a，（n∈N^*），令b_n=a_nlog₂a_n
（1）若a=2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若0＜a＜1，b_n+1＞b_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer

（1）根据{an}是首项为a1，公比为a的等比数列，可得{an}的通项，进而可得数列{bn}的通项，利用错位相减法可求前n项和Sn；
（2）利用数列{bn}的通项，bn+1＞bn，可得，再根据0＜a＜1，利用分离参数法，即可确定a的取值范围．
【解析】
因为{an}是首项为a1，公比为a的等比数列，所以an=an
所以，bn=anlog2an=anlog2an=nanlog2a                   （2分）
（1）若a=2时，bn=n2nlog22=n2n
Sn=b1+b2+…+bn=1•21+2•22+…+n•2n，①
∴2Sn=1•22+2•23+…+n•2n+1，②
②-①化简可得Sn=-2-（n-1）2n+1=2+（n-1）2n+1                          （7分）
（2）因为bn+1＞bn，所以
当0＜a＜1时，log2a＜0，所以（n+1）a＜n，即
因为
所以（12分）