Question

如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求AC与平面EBC所成角的正弦值．

Answer

（I）取BD的中点P，连接EP，FP，则利用中位线的性质，可知四边形AFPE是平行四边形，由此能够证明AF∥面BDE．
（Ⅱ）利用等体积，求出A到平面EBC的距离为d，即可求得AC与平面EBC所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：取BD的中点P，连接EP、FP，则FP∥DC且FP=DC，
又∵EA∥DC且EA∥DC，∴EA∥FP且EA=FP，
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
又∵EP⊂面BDE且AF⊄面BDE，
∴AF∥面BDE．
（Ⅱ）【解析】
过A作AH⊥平面EBC，连接HB，则∠ABH为AC与平面EBC所成角
设A到平面EBC的距离为d，则
在△EBC中，EC=EB=，BC=2，∴=
由VE-ABC=VA-EBC可得
∴d=
∴AC与平面EBC所成角的正弦值为．