Question

设函数的最大值为M，最小正周期为T．
（1）求M、T；
（2）若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer

将函数解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，第三项利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）根据x为R，利用正弦函数的值域确定出函数的最大值，得到M的值；找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，确定出T；
（2）由求出的M及f（x）解析式，根据f（xi）=M，利用正弦函数的图象与性质列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，再由0＜xi＜10π，确定出k的取值，列举出所求式子的各项，计算后即可求出值．
【解析】
依题意得：f（x）=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+），
（1）∵x∈R，∴f（x）max=M=2，最小正周期T==π；
（2）由f（xi）=M=2得：2xi+=2kπ+，k∈Z，
解得：xi=kπ+，k∈Z，
又0＜xi＜10π，∴k=0，1，2，…，9，
∴x1+x2+…+x10=（1+2+…+9）π+10×=π．