Question

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（1）两种大树各成活1株的概率；
（2）成活的株数ξ的分布列与期望．

Answer

（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．
（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．
【解析】
设Ak表示甲种大树成活k株，k=0，1，2
Bl表示乙种大树成活1株，1=0，1，2
则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P（Ak）=C2k（）k（）2-k，P（Bl）=C21（）l（）2-l．
据此算得P（A）=，P（A1）=，P（A2）=．
P（B）=，P（B1）=，P（B2）=．
（1）所求概率为P（A2•B2）=P（A1）•P（B1）=×=．
（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
P（ξ=0）=P（A•B）=P（A）•P（B）=×=，
P（ξ=1）=P（A•B1）+P（A1•B）=×+×=，
P（ξ=2）=P（A•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B）=×+×+×=，
P（ξ=3）=P（A1•B2）+P（A2•B1）=×+×=．
P（ξ=4）=P（A2•B2）=×=．
综上知ξ有分布列

从而，ξ的期望为
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．
解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则
ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）
故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1
从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．