Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C．
（1）求证：D为棱BB₁中点；
（2）为何值时，二面角A-A₁D-C的平面角为60°．

Answer

（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．先证明DE⊥面AA1C1C，再证明D，E，F，B共面，进而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，即可得到结论；
（2）过B作BH⊥A1G于点H，由三垂线定理知，A1G⊥CH，则可得∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角，利用二面角A-A1D-C的平面角为60°，即可得到结论．
（1）证明：过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．

∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，
∴DE⊥面AA1C1C．
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，∴BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，
又BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，
所以DB=EF=
所以D为棱BB1中点；
（2）【解析】
延长A1D与直线AB相交于G，则CB⊥面AA1B1B
过B作BH⊥A1G于点H，由三垂线定理知，A1G⊥CH
由此可知∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角
设AA1=2b，AB=BC=a，则在直角△A1AG中，AB=BG；
在直角△DBG中，BH==；
在直角△CHB中，tan∠CHB==，
∵二面角A-A1D-C的平面角为60°，
∴=tan60°=
∴
∴=．