Question

已知函数f（x）的导函数是f′（x）=3x²+2mx+9，f（x）在x=3处取得极值，且f（0）=0．
（Ⅰ）求f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）记f（x）在闭区间[0，t]上的最大值为F（t），若对任意的t（0＜t≤4）总有F（t）≥λt成立，求λ的取值范围；
（Ⅲ）设M（x，y）是曲线y=f（x）上的任意一点．当x∈（0，1]时，求直线OM斜率的最小值，据此判断f（x）与4sinx的大小关系，并说明理由．

Answer

（I）依题意，f'（3）=0，解得m=-6，由已知可设f（x）=x3-6x2+9x+p，因为f（0）=0，所以p=0，由此能求出f（x）的极大值和极小值．
（Ⅱ）当0＜t≤1时，由（I）知f（x）在[0，t]上递增，所以f（x）的最大值F（t）=f（t）=t3-6t2+9t，由F（t）≥λt对任意的t恒成立，得t3-6t2+9t≥λt，则λ≤t2-6t+9=（t-3）2，由此能求出λ的取值范围．
（Ⅲ）当x∈（0，1]时，直线OM斜率，因为0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，则4≤（x-3）2＜9，即直线OM斜率的最小值为4．由此能够导出f（x）＞4sinx．
【解析】
（I）依题意，f'（3）=0，解得m=-6，…（1分）
由已知可设f（x）=x3-6x2+9x+p，
因为f（0）=0，所以p=0，
则f（x）=x3-6x2+9x，导函数f'（x）=3x2-12x+9． …（3分）
列表：

x （-∞，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 递增 极大值4 递减 极小值0 递增

由上表可知f（x）在x=1处取得极大值为f（1）=4，
f（x）在x=3处取得极小值为f（3）=0．   …（5分）
（Ⅱ）①当0＜t≤1时，
由（I）知f（x）在[0，t]上递增，
所以f（x）的最大值F（t）=f（t）=t3-6t2+9t，…（6分）
由F（t）≥λt对任意的t恒成立，得t3-6t2+9t≥λt，
则λ≤t2-6t+9=（t-3）2，
因为0＜t≤1，所以-3＜t-3≤-2，
则4≤（t-3）2＜9，
因此λ的取值范围是λ≤4． …（8分）
②当1＜t≤4时，因为f（1）=f（4）=4，
所以f（x）的最大值F（t）=f（1）=4，
由F（t）≥λt对任意的t恒成立，得4≥λt，
∴，
因为1＜t≤4，所以，
因此λ的取值范围是λ≤1，
综上①②可知，λ的取值范围是λ≤1． …（10分）
（Ⅲ）当x∈（0，1]时，
直线OM斜率，
因为0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，
则4≤（x-3）2＜9，
即直线OM斜率的最小值为4． …（11分）
首先，由，得f（x）≥4x．
其次，当x∈（0，1]时，有4x＞4sinx，
所以f（x）＞4sinx，…（12分）
证明如下：
记g（x）=4x-4sinx，则g'（x）=4-4cosx≥0，
所以g（x）在（0，1）递增，又g（0）=0，
则g（x）＞0在（0，1）恒成立，即4x＞4sinx，
所以 f（x）＞4sinx．…（13分）