Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）当PB取得最小值时，求四棱锥P-BDEF的体积．

Answer

（1）由菱形ABCD的对角线互相垂直，知BD⊥AC，BD⊥AO，由EF⊥AC，知PO⊥EF．由此能够证明BD⊥平面POA．
（2）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，故BD=4，．由此入手能够求出当PB取得最小值时四棱锥P-BDEF的体积．
【解析】
（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（2）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，
所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，．
又设PO=x，则，．
由OH⊥BD，则，
又由（1）知，PO⊥平面BFED，则PO⊥OB
所以，
当时，．
此时，…（8分）
所以．…（12分）