Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在数列{a_n}的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{b_n}，在a_n和a_n+1两项之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，求b₂₀₁₂的值；
（3）对于（2）中的数列{b_n}，若b_m=a_n，并求b₁+b₂+b₃+…+b_m（用n表示）．

Answer

（1）2an+1-Sn+1=1与2an-Sn=1相减，可得数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）设an和an+1两项之间插入n个数后，可求得，又（1+2+3+…+61）+61=1952，2012-1952=60，从而可求b2012的值；
（3）依题意，b1+b2+b3+…+bm=，考虑到an+1=2an，令M=3a1+5a2+7a3+…+（2n+1）an，则2M=3a2+5a3+7a4+…+（2n+1）an+1，求出M=（2n-1）2n+1，即可得到结论．
【解析】
（1）当n=1时，2a1-S1=1，∴a1=1．
又2an+1-Sn+1=1与2an-Sn=1相减得：an+1=2an，故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以；…（4分）
（2）设an和an+1两项之间插入n个数后，这n+2个数构成的等差数列的公差为dn，则，
又（1+2+3+…+61）+61=1952，2012-1952=60，
故．…（9分）
（3）依题意，b1+b2+b3+…+bm==，
考虑到an+1=2an，令M=3a1+5a2+7a3+…+（2n+1）an，则2M=3a2+5a3+7a4+…+（2n+1）an+1
∴2M-M=-2（a1+a2+a3+…+an）-a1+（2n+1）an+1
∴M=（2n-1）2n+1，
所以．…（14分）