Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=2，S₄=4，等式a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设=（4，S₂），=（4k，-S₃），若，求实数k的值．

Answer

（1）利用等式an+an+2=2an+1对任意n∈N*恒成立，确定数列{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2=2，S4=4，建立方程组，从而可求数列的通项；
（2）由（1）知，利用建立等式，即可求得结论．
【解析】
（1）∵等式an+an+2=2an+1对任意n∈N*恒成立
∴数列{an}是等差数列
设数列{an}的首项为a1，公差为d
∵a2=2，S4=4
∴
∴
∴an=4+（n-1）×（-2）=-2n+6；
（2）由（1）知
∴S2=6，S3=6
∴
∵
∴4×6+6×4k=0
∴k=-1．