Question

已知椭圆过点，F₁、F₂为其左、右焦点，且△PF₁F₂的面积等于．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M、N是直线上的两个动点，满足F₁M⊥F₂N，问以MN为直径的圆C是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

Answer

（1）利用△PF1F2的面积等于，求出椭圆的焦距，利用椭圆过点，求出a的值，从而可求椭圆E的方程；
（2）设M（-），N（-），利用F1M⊥F2N，可得mn=-，求出圆C的方程，令y=0，即可得出结论．
【解析】
（1）设椭圆的焦距为2c，则
∵△PF1F2的面积等于，∴
∴c=
∴F1（-，0）、F2（，0）
∵椭圆过点，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2
∴b2=a2-c2=2
∴椭圆E的方程为；
（2）设M（-），N（-），则=（-），=（-）
∵F1M⊥F2N，∴
∴，∴mn=-
以MN为直径的圆C的圆心为（-，），半径为
∴圆C的方程为
即x2+y2+3x-（m+n）y+2=0
令y=0，整理得x2+3x+2=0
∴x=-1或x=-2
∴以MN为直径的圆C必过定点（-1，0）和（-2，0）．