Question

如图，，E、F分别是线段AC、AD的中点，连接BE、EF、FB、BD．
（1）请观察图形直接写出两对不同的线面垂直关系，并任选其中一对加以证明；
（2）试求直线BD与平面BEF所成的角的大小．

Answer

（1）由图形可得CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD．证明AC⊥CD，根据BC⊥CD，AC∩BC=C，可得CD⊥平面ABC，从而可得CD⊥AB，根据AB⊥BC，BC∩CD=C，可得AB⊥平面BCD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面BEF的法向量=（1，0，1），利用向量的夹角公式，即可求直线BD与平面BEF所成的角的大小．
【解析】
（1）由图形可得CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD．下面证明AB⊥平面BCD：
在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=
在△ACD中，CD=1，AC=，AD=，∴AD2=AC2+DC2，∴AC⊥CD
∵BC⊥CD，AC∩BC=C
∴CD⊥平面ABC
∵AB⊂平面ABC
∴CD⊥AB
∵AB⊥BC，BC∩CD=C
∴AB⊥平面BCD；
（2）以C为原点，BC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系

则A（1，0，1），B（1，0，0），C（0，0，0），D（0，1，0），E（），F（）
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），直线BD与平面BEF所成的角为θ
∵=（），=（）
∴，∴可取=（1，0，1）
∵=（-1，0，1）
∴sinθ===．
∵
∴θ=