Question

如图，边长为3（百米）的正方形ABCD是一个观光区的平面示意图，中间叶形阴影部分MN是一片人工湖，它的左下方边缘曲线段MN为函数的图象．为了便于游客观光，拟在观光区内铺设一条穿越该区域的直路l（宽度不计），其与人工湖左下方曲线段MN相切（切点记为P），并把该区域分为两部分．现直路l左下部分区域规划为花圃，记点P到边AD距离为t，f（t）表示花圃的面积．
（1）求直路l所在的直线与两坐标轴的交点坐标；
（2）求面积f（t）的解析式；
（3）请你制定一个铺设方案，使得花圃面积最大，并求出最大值．

Answer

（1）求导函数，确定过点P的切线方程，即可求得直线与两坐标轴的交点坐标；
（2）分类讨论：①当，即时，切线左下方的区域为一直角三角形；②当，即时，切线左下方的区域为一直角梯形；③当，即时，切线左下方的区域为一直角梯形，从而可得面积f（t）的解析式；
（3）求出分段函数的最值，即可得到花圃面积最大值．
【解析】
（1）求导函数可得
∴过点P的切线方程为，即
令x=0可得y=，令y=0可得x=2t
∴切线与x轴交点坐标为（2t，0），与y轴交点坐标为（0，）
（2）①当，即时，切线左下方的区域为一直角三角形
∴f（t）==4；
②当，即时，切线左下方的区域为一直角梯形
∴f（t）==；
③当，即时，切线左下方的区域为一直角梯形
∴f（t）==；
综上，f（t）=；
（3）当时，f（t）==-；
当时，f（t）==；
当时，f（t）=4是常数；
综上，当时，花圃面积最大，最大值为4．