Question

函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f'（x）=0的两根为x₁，x₂，则|x₁-x₂|的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

先求出f′（x）=3ax2+2bx+c，可得 == ++，由f′0）•f′（1）＞0，
解得-2＜＜-1，利用二次函数的性质求出的范围，即可求得|x1-x2|的取值范围．
【解析】
由题意得：f′（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，
∴x1+x2=-，x1•x2=．∴|x1-x2|2 =-4x1x2 ，
∴=-4x1•x2 =．
∵a+b+c=0，∴c=-a-b，
∴== ++．
∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=-（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3 +2＜0，解得-2＜＜-1．
由二次函数的性质可得，当=-时，有最小值为 ，
当趋于-1时， 趋于 ，故 ∈，
故|x1-x2|∈，
故选A．