Question

已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设点P在抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在点P处的切线与C₁交于点M，N．若存在点P，使得线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的取值范围．

Answer

（1）由椭圆右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1，建立方程组，即可求出椭圆方程；
（2）不妨设，求出直线MN的方程代入椭圆C1的方程，根据直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有△＞0，利用线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等，建立方程，从而可得h的取值范围．
【解析】
（1）由题意得，∴，…（3分）
∴所求的椭圆方程为…（5分）
（2）不妨设，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y'|x=t=2t，…（6分）
∴直线MN的方程为y=2tx-t2+h，代入椭圆C1的方程中，得4x2+（2tx-t2+h）2-4=0，
即4（1+t2）x2-4t（t2-h）x+（t2-h）2-4=0，…（7分）
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有△=16t2（t2-h）2-16（1+t2）[（t2-h）2-4]＞0
即-（t2-h）2+4+4t2＞0，…（8分）
设线段MN的中点的横坐标是x3，则，
设线段PA的中点的横坐标是x4，则，
由题意得x3=x4，即有t2+（1+h）t+1=0，显然t≠0
∴（t≠0）…（9分）
∴t4+2t3-2t2+2t+1＜0，即（t2+t+1）2-5t2＜0
解得
而
又在上递增，
在上递减…（11分）
∴当t=-1时，h取到最小值1；…（12分）
当或时，h的值都为
∴h的取值范围是…（13分）