Question

曲线x²+y²-ay=0与ax²+bxy+x=0有且只有3个不同的公共点，那么（ ）
A．（a⁴+4ab+4）（ab+1）=0
B．（a⁴-4ab-4）（ab+1）=0
C．（a⁴+4ab+4）（ab-1）=0
D．（a⁴-4ab-4）（ab-1）=0

Answer

由ax2+bxy+x=0可得ax+by+1=0，或x=0，根据x=0与曲线x2+y2-ay=0有2个公共点，则ax+by+1=0与曲线x2+y2-ay=0有且只有1个不同的公共点，利用圆心到直线的距离，可求得结论．
【解析】
由题意，由ax2+bxy+x=0可得ax+by+1=0，或x=0，
∵x=0与曲线x2+y2-ay=0有2个公共点
∴ax+by+1=0与曲线x2+y2-ay=0有且只有1个不同的公共点（不是（0，0）），
∵x2+y2-ay=0的圆心坐标为（0，），半径为
∴圆心到ax+by+1=0的距离为
∵ax+by+1=0与曲线x2+y2-ay=0有且只有1个不同的公共点
∴
∴（a4-4ab-4）（ab+1）=0
故选B．