Question

已知f（x）=sin2x+3sinx+3cosx（0≤x＜2π），
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer

（1）设sinx+cosx=t，则sin2x=t2-1，本题即求g（t）=t2+3t-1的值域，利用二次函数的性质求出g（t）的值域．
（2）求出f'（x）的解析式，则使f'（x）＞0的区间即为函数的增区间，使f'（x）＜0的区间即为函数的减区间．
【解析】
（1）由题意得：f（x）=2sinxcosx+3（sinx+cosx），
设sinx+cosx=t，则sin2x=t2-1，
于是只要求g（t）=t2+3t-1的值域．
又∵，故与时，g（t）取得最值．
即f（x）的值域为…（6分）
（2）f'（x）=2cos2x+3（cosx-sinx）=（cosx-sinx）（2cosx+2sinx+3）
而2cosx+2sinx+3＞0
故f（x）的单调递减区间为，f（x）的单调递增区间为…（12分）