Question

已知数列a_n满足a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N^*）．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）对任意给定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*（k＜p＜r）使成等差数列？若存在，用k分别表示p和r（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．

Answer

（1）当n=1时，a1=1；当n≥2，n∈N*时，a1+a2++an-1=（n-1）2，由此能求出数列an的通项公式．
（2）当k=1时，若存在p，r使成等差数列，则，再由题设条件分类讨论知当k=1时，不存在p，r；当k≥2时，存在p=2k-1，r=4k2-5k+2满足题设．
（3）作如下构造：，其中k∈N*，它们依次为数列an中的第2k2+6k+5项，第2k2+8k+8项，第2k2+10k+13项，显然它们成等比数列，且，所以它们能组成三角形．由k∈N*的任意性，这样的三角形有无穷多个．再用反证法证明其中任意两个三角形A1B1C1和A2B2C2不相似．
【解析】
（1）当n=1时，a1=1；
当n≥2，n∈N*时，a1+a2++an-1=（n-1）2，
所以an=n2-（n-1）2=2n-1；
综上所述，an=2n-1（n∈N*）．（3分）
（2）当k=1时，若存在p，r使成等差数列，则，
因为p≥2，所以ar＜0，与数列an为正数相矛盾，因此，当k=1时不存在；（5分）
当k≥2时，设ak=x，ap=y，ar=z，则，所以，（7分）
令y=2x-1，得z=xy=x（2x-1），此时ak=x=2k-1，ap=y=2x-1=2（2k-1）-1，
所以p=2k-1，ar=z=（2k-1）（4k-3）=2（4k2-5k+2）-1，所以r=4k2-5k+2；
综上所述，当k=1时，不存在p，r；
当k≥2时，存在p=2k-1，r=4k2-5k+2满足题设．（10分）
（3）作如下构造：，其中k∈N*，
它们依次为数列an中的第2k2+6k+5项，第2k2+8k+8项，第2k2+10k+13项，（12分）
显然它们成等比数列，且，，所以它们能组成三角形．
由k∈N*的任意性，这样的三角形有无穷多个．（14分）
下面用反证法证明其中任意两个三角形A1B1C1和A2B2C2不相似：
若三角形A1B1C1和A2B2C2相似，且k1≠k2，则，
整理得，所以k1=k2，这与条件k1≠k2相矛盾，
因此，任意两个三角形不相似．
故命题成立．（16分）