Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是侧棱AA₁上的动点．
（Ⅰ）当AA₁=AB=AC时，求证：A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）试求三棱锥P-BCC₁的体积V取得最大值时的t值；
（Ⅲ）若二面角A-BC₁-C的平面角的余弦值为，试求实数t的值．

Answer

（Ⅰ）证法一：利用线面垂直的判定证明，即证AC1⊥A1C，AB⊥AC1；
证法二：建立空间直角坐标系，证明；
证法三：建立空间直角坐标系，求出平面ABC1的法向量，利用，证明A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）先判断P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离，利用等体积转化，求出三棱锥P-BCC1的体积，利用导数的方法，求最大值；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面ABC1的法向量，平面BCC1的法向量，利用向量的夹角公式及二面角A-BC1-C的平面角的余弦值为，可求实数t的值．
（Ⅰ）证法一：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AA1=AC，∴四边形AA1C1C是正方形，
∴AC1⊥A1C．…（1分）
∵AB⊥AC，AB⊥AA1，AA1，AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC=A，
∴AB⊥平面AA1C1C．…（2分）
又∵AC1⊂平面AA1C1C，∴AB⊥AC1．…（3分）
∵AB，AC1⊂平面ABC1，AB∩AC1=A，
∴A1C⊥平面ABC1．…（4分）
证法二：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AB⊥AC，∴分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）

则A（0，0，0），C1（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），
∴，
∴，…（2分）
∴．…（3分）
又∵AB，AC1⊂平面ABC1，AB∩AC1=A∴A1C⊥平面ABC1．…（4分）
证法三：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AB⊥AC，
∴分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）

则A（0，0，0），C1（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），
∴．
设平面ABC1的法向量，
则，解得．
令z=1，则，…（3分）
∵，∴A1C⊥平面ABC1．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
∵AA1∥平面BB1C1C，∴点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离
∴，…（5分）
∴V'=-t（t-1），令V'=0，得t=0（舍去）或t=1，
列表，得

（0，1） 1
V' + -
V 递增 极大值 递减

∴当t=1时，．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），C1（0，t，3-2t），B（t，0，0），C（0，t，0），A1（0，0，3-2t），
∴，，．…（9分）

设平面ABC1的法向量，
则，解得，
令z1=t，则．…（10分）
设平面BCC1的法向量，则．
由于，所以解得．
令y2=1，则．…（11分）
设二面角A-BC1-C的平面角为θ，则有．
化简得5t2-16t+12=0，解得t=2（舍去）或．
所以当时，二面角A-BC1-C的平面角的余弦值为．…（13分）