Question

已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=-=
令f′（x）=0，解得x=当0＜x＜时，f′（x）＜0；
当x≥时，f′（x）＞0
又∵f（）=2-ln2
∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值

（Ⅱ）f′（x）=-+2a=
当a＜-2时，-＜，令f′（x）＜0，得0＜x＜-或x＞，
令f′（x）＞0得-＜x＜
当-2＜a＜0时，得-＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞-；
令f′（x）＞0得＜x＜-；
当a=-2时，f′（x）=-≤0
综上所述，当a＜-2时f（x），的递减区间为（0，-）和（．+∞），递增区间为（-，）；
当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（-，+∞），递增区间为（，-）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减．
当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；
|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3++6a]=-4a+（a-2）ln3
∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x1）-f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a-2ln3＞-4a+（a-2）ln3
整理得ma＞-4a，∵a＜0，∴m＜-4恒成立，∵-3＜a＜-2，
∴-＜-4＜-，∴m≤-