Question

如图所示，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是线段AC上任意一点．
（1）判断直线B₁P与平面A₁C₁D的位置关系并证明；
（2）若AB=BC，E是AB中点，二面角A₁-DC₁-D₁的余弦值是，求直线B₁E与平面A₁C₁D所成角的正弦值．

Answer

（1）直线B1P∥平面A1C1D，证明平面AB1C∥平面A1C1D，利用面面平行的性质，即可求得B1P∥平面A1C1D；
（2）建立直角坐标系，求出平面A1C1D、平面D1C1D的法向量，利用二面角A1-DC1-D1的余弦值是，确定，再利用向量的夹角公式，可求直线B1E与平面A1C1D所成角的正弦值．
【解析】
（1）直线B1P∥平面A1C1D，证明如下：

连接AB1与B1C，则A1C1∥AC，A1D∥B1C
∵AC∩B1C=C
∴平面AB1C∥平面A1C1D
∵B1P⊂平面AB1C
∴B1P∥平面A1C1D；
（2）建立如图所示的直角坐标系，

设A（1，0，0），D1（0，0，a），则C1（0，1，a），C（0，1，0），A（1，0，a），B（1，，0），B1（1，1，a）
∴
设平面A1C1D的法向量为=（x，y，z），则，∴可取
∵平面D1C1D的法向量为
∴cos==
∴a=
∴
∴cos==-
∴直线B1E与平面A1C1D所成角的正弦值．