Question

某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员，三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了100户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）

（1）已知该小区共有居民10000户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是8.96×10⁴吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；
（2）为了解动员前后市民的节水情况．媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在[12，16）范围内的家庭中选出5户作为采访对象，其中在[14，16）内的抽到X户，求X的分布列和期望．

Answer

（1）将直方图中的每个组中值乘以每个矩形的面积相加即可求出所求；
（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12，14）范围内的家庭有6户，在[14，16）内的有3户，因此X可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，最后根据数学期望的公式解之即可．
【解析】
（1）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为
1×0.015+3×0.03+5×0.105+7×0.2+9×0.12+11×0.03）×2=6.88（吨）
于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水8.98×104-6.88×104=2.08×104
（2）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12，14）范围内的家庭有6户，在[14，16）内的有3户，因此X可能取值有0，1，2，3，
P（X=0）===；
P（X=1）===；
P（X=2）===；
P（X=3）===
∴X的分布列为

 X  0  1  2  3
 P        

∴EX=1×+2×+3×=